Control PID Discreto
1 Algoritmo de Control PID en Tiempo Continuo
Antes de abordar el diseño de un Controlador PID en tiempo discreto, recordemos algunos conceptos teóricos respecto al Controlador PID en tiempo continuo.
El algoritmo del controlador PID bastante difundido en la comunidad universitaria, viene dada por:
(5.1)
donde 
es la señal de error, u(t) es la señal o fuerza de control, y(t) es la salida controlada del proceso o planta, r(t) es la señal de referencia deseada o “set-point”, KP es la ganancia proporcional, Ti es la constante de tiempo integral, y Td es la constante de tiempo derivativo. El algoritmo dado en la ecuación (5.1) se denomina también algoritmo ISA (Instrument Society of America) o algoritmo PID no interactuante.
En el dominio de Laplace, la ecuación (5.1) toma la forma:
(5.2)
donde 
.
Podemos citar algunos otros algoritmos de control PID empleados comercialmente:
1) Controlador PID interactuante.
(5.3)
2) Controlador PID ideal paralelo.
(5.4)
Foxboro y Fisher emplean el algoritmo PID no interactuante, mientras que Honeywell y Texas usan el algoritmo interactuante.
Notar que (5.4) es equivalente a (5.1). Por otro lado, se puede demostrar que (5.1) tiene una correspondencia directa con (5.3) siempre que 
.
Los algoritmos PID descritos operan con una señal de error e(t), la cual es generada en línea (“On-Line”), es decir, con el controlador en plena acción, tal como se ilustra en la figura 5.1, en donde también se muestran las señales de disturbio o perturbaciones l (en la carga) y n (en la medición).
La configuración básica del algoritmo PID mostrado en la ecuación (2.1) se puede modificar introduciendo ciertas características con la finalidad de que su rendimiento mejore sustancialmente. Por ejemplo, no podemos evitar que puedan ocurrir cambios bruscos del error e(t), los cuales pueden hacer incrementar el término derivativo:
y su efecto se puede apaciguar si es que utilizamos como señal de entrada únicamente la señal realimentada y(t) en lugar de e(t). De esta forma, la ecuación (5.1) se convierte en:
(5.5)
mientras que la ecuación (5.2) toma la forma:
(5.6)
Otra modificación importante es filtrar la acción derivativa del controlador PID original mediante un filtro de primer (o segundo) orden para disminuir el ruido derivativo. Esta característica limita la amplificación del ruido de medición de alta frecuencia en la salida del controlador. La señal de control será así menos ruidosa y la ganancia en alta frecuencia permanecerá dentro de cotas apropiadas. Un término derivativo práctico, ya que un derivador puro no puede realizarse exactamente, puede aproximarse por un sistema de primer orden con una constante de tiempo Tf que a menudo se normaliza con respecto al tiempo derivativo Td. Por consiguiente, el derivador del algoritmo PID (ecuación (5.6)) se modifica como:
donde N es una constante que varía de 3 a 10 y es conocida como la cota de la ganancia derivativa. Luego el algoritmo (5.6) se convierte en:
(5.7)
donde:
En toda implementación práctica, la señal de salida del controlador debe de estar limitada por dos razones:
1) Su magnitud no debe de exceder el rango permitido por el sistema de adquisición de datos, y
2) Su valor no debe exceder el rango permitido por el actuador.
Por estas razones es que debemos introducir un limitador a la salida del controlador. Lamentablemente este limitador, que es un elemento no lineal, es el causante del efecto denominado en inglés “windup”. Cuando la magnitud de la señal de control u(t) sobrepasa los límites del limitador, tal efecto se manifiesta como un incremento del término integral del controlador, lo que a su vez provoca un aumento del sobreimpulso y del tiempo de establecimiento en la señal controlada y(t).
Para evitar el efecto “windup”, no debemos de usar el término integral en los casos en que la señal de control u1(t) sobrepase los límites de operación umin y umax, con el fin de evitar la saturación del limitador. Una forma de implementar sta acción “anti windup” se da a continuación:
5.2 Algoritmo de Control PID en Tiempo Discreto
El esquema de un Sistema de Control PID en tiempo discreto se muestra en la figura 5.2.
Sea k el índice de tiempo discreto, el cual está relacionado con el tiempo continuo t mediante la relación 
, donde T es el periodo de muestreo o de discretización. La parte proporcional del controlador PID en tiempo continuo dada por 
vendrá representada en tiempo discreto por:
(5.8)
La parte integral 
, o lo que es lo mismo
vendrá expresada en tiempo discreto por la siguiente aproximación trapezoidal:
donde, para el tiempo discreto (k-1) se cumple que:
Restando I(k-1) de I(k) se obtiene:
(5.9)
La parte derivativa 
se puede escribir como:
y aproximando las derivadas 
e 
por atraso (desplazamiento de k hacia (k-1)), se obtiene:
Despejando D(k), y considerando 
, la parte derivativa discreta queda entonces como:
(5.10)
Por consiguiente, el algoritmo PID discreto usado en las implementaciones en tiempo real tiene la siguiente forma:
(5.11)
